运筹空间——建筑空间组合的约束与建模
Citation 莫怡晨, 李荣, 吴佳倩, 华好, 李飚. 运筹空间——建筑空间组合的约束与建模[J]. 建筑技艺（中英文）, 2026, 32(5): 54-59.
摘要
针对建筑空间组合中隐性经验难以计算化的问题，本文介绍一项基于运筹学的约束建模方法，将几何特征、功能拓扑与空间逻辑转译为层次化的约束与目标函数，构建混合整数二次规划模型，实现空间布局的精确求解；经三个尺度的生成实例验证，该方法能高效生成满足多重约束的合理方案，将设计直觉解码为可调的显性规则。
一、设计问题的形式规则
空间组合生成设计的复杂性，在于功能需求、拓扑关系与几何形态相互耦合，调整其一即牵动其余，在计算上属NP难问题；实践中决策多由设计师直觉主导，其内在的经验逻辑仍是黑箱，缺乏清晰的可计算表达。亚历山大（Christopher Alexander）的模式语言、斯廷尼（George Stiny）的形状语法，以及近年引入的树、图与超图，为空间关系提供了结构化表达；由这些关系生成具体的布局方案，尚需求解层面的方法支撑。
数学规划以决策变量、目标函数与约束条件界定优化模型，将定性的设计要求转译为可计算、可求解的数学表达；就空间组合而言，三者与设计要素逐一对应，分别指向待求解的空间要素、待优化的设计指标与须满足的空间关系。当目标或约束含二次项，并以二元变量处理非线性逻辑时，问题归结为混合整数二次规划（MIQP）。建模中，建筑空间被简化为一系列矩形单元。矩形是建筑平面中最常见的空间形态，其正交边界与模数格网及墙体约束天然契合，其邻接、包含、分离等拓扑关系可由线性约束精确描述。
图1 以矩形表征房间、外轮廓与障碍物（作者自绘）
二、设计经验的数学建模
建筑平面布局中，设计师通常希望房间关系保持紧密，距离越近，交通流线越短，空间利用越充分；同时希望房间尽可能占满可用区域，避免零碎边角。两个意图之间存在张力，本文将这一设计直觉转化为聚集与填充两类目标函数，前者最小化房间两两距离之和，后者最小化场地剩余面积，再以加权和法合成单一目标，权重不同则生成方案的倾向不同。
图2 聚集目标示意（作者自绘）
图3 填充目标示意（作者自绘）
约束体系包含三类。基本约束限定房间的面宽、进深与面积范围，控制长宽比并使之限于外轮廓之内；固定对位约束使楼梯间等垂直交通空间定位于给定点，或使房间一边贴合墙体、日照边界与景观面；相对布局约束含非交叠、邻接与相离，分别对应功能独立、设置门洞与退让间距。房间朝向不定，长宽比须在横竖两种朝向中满足其一，而数学规划的标准形式要求约束同时成立，为此引入大M法，借助一个二元变量与充分大的常数M，在两种朝向中激活其一、抑制另一。
图4 非交叠约束（作者自绘）
图5 邻接约束（作者自绘）
图6 相离约束（作者自绘）
三、标准定义下的生成验证
该方法以标准方式定义问题。设计要求一经写成变量、目标与约束，求解器即可对解空间进行完备搜索，理论上能判定可行性、求得全局最优或证明可行解不存在；设计要求是否被满足由此成为可检验的命题，问题形式化的价值正在于此。平行墙体约束由固定边约束与非交叠约束组合实现；层间对位约束由固定点约束扩展而来，使楼梯、中庭等贯通空间在各层严格对位。二者的生成结果如下。
图7 平行墙体约束下的布局生成（作者程序生成）
图8 层间对位约束的三层求解结果（作者程序生成）
方法在三个尺度得到验证。平面模板拼合处理教室、病房、工位等尺寸已知、位置待定的房间，在非交叠与邻接约束下紧凑组织；场地规划在限定域内布置互不相交的矩形，域内障碍物代表既有建筑、保留树木或设备管井，兼顾聚集与填充目标；功能拓扑限定的多层平面布局引入基本模数与界面连通优先度，以−1表示实墙、0为软质隔断、1为视线通透、2为可开窗墙体、大于2可设门通行，程序可由平面求解直接推进至三维建模。
图9 用户输入的房间模板（作者自绘）
图10 模板拼合的生成结果（作者程序生成）
图11 限定域内的空间规划（作者自绘）
图12 从平面求解到三维建模的自动化流程（作者自绘）
图13 功能拓扑限定的多层布局生成结果（部分）（作者程序生成）
结语
本文将复杂的空间组合问题转译为目标函数与不等式约束，使原本依赖直觉的经验判断成为可读、可调、可验证的显性规则，建筑空间思维与计算求解得以对接。该建模思路亦可用于数学规划之外，作为进化算法、多智能体系统等启发式方法的数理基础。方法目前以矩形为基本单元、以平面组织为主要对象，后续将向更灵活的几何表达与更大尺度拓展。